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La différence entre les combinaisons et les permutations

La différence entre les combinaisons et les permutations


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Tout au long des mathématiques et des statistiques, nous devons savoir compter. Ceci est particulièrement vrai pour certains problèmes de probabilité. Supposons qu'on nous donne un total de n objets distincts et veulent sélectionner r d'eux. Cela touche directement un domaine des mathématiques appelé combinatoire, qui est l'étude du comptage. Deux des principaux moyens de compter ces r objets de n les éléments sont appelés permutations et combinaisons. Ces concepts sont étroitement liés les uns aux autres et faciles à confondre.

Quelle est la différence entre une combinaison et une permutation? L'idée clé est celle de l'ordre. Une permutation tient compte de l'ordre dans lequel nous sélectionnons nos objets. Le même ensemble d'objets, mais pris dans un ordre différent, nous donnera des permutations différentes. Avec une combinaison, nous sélectionnons toujours r objets d'un total de n, mais la commande n'est plus prise en compte.

Un exemple de permutations

Pour distinguer ces idées, considérons l’exemple suivant: combien y at-il de permutations de deux lettres de l’ensemble {abc}?

Ici, nous listons toutes les paires d'éléments de l'ensemble donné, tout en prêtant attention à la commande. Il y a un total de six permutations. La liste de tous ceux-ci sont: ab, ba, bc, cb, ac et ca. Notez que comme permutations un B et ba sont différents parce que dans un cas une a été choisi le premier, et dans l'autre une a été choisi deuxième.

Un exemple de combinaisons

Nous allons maintenant répondre à la question suivante: combien de combinaisons y at-il de deux lettres de l’ensemble {abc}?

Puisque nous avons affaire à des combinaisons, nous ne nous soucions plus de l'ordre. Nous pouvons résoudre ce problème en revenant sur les permutations puis en éliminant celles qui incluent les mêmes lettres. Sous forme de combinaisons, un B et ba sont considérés comme identiques. Ainsi, il n'y a que trois combinaisons: ab, ac et bc.

Formules

Pour les situations où nous rencontrons de plus grands ensembles, il est trop fastidieux de répertorier toutes les permutations ou combinaisons possibles et de compter le résultat final. Heureusement, il existe des formules qui nous donnent le nombre de permutations ou de combinaisons de n objets pris r à la fois.

Dans ces formules, nous utilisons la notation abrégée de n! appelé n factorielle. La factorielle dit simplement de multiplier tous les nombres entiers positifs inférieurs ou égaux à n ensemble. Donc, par exemple, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Par définition, 0! = 1.

Le nombre de permutations de n objets pris r à la fois est donnée par la formule:

P(n,r) = n!/(n - r)!

Le nombre de combinaisons de n objets pris r à la fois est donnée par la formule:

C(n,r) = n!/r!(n - r)!

Formules au travail

Pour voir les formules à l'œuvre, examinons l'exemple initial. Le nombre de permutations d'un ensemble de trois objets pris deux à la fois est donné par P(3,2) = 3! / (3 - 2)! = 6/1 = 6. Cela correspond exactement à ce que nous avons obtenu en listant toutes les permutations.

Le nombre de combinaisons d'un ensemble de trois objets pris deux à la fois est donné par:

C(3,2) = 3! / 2! (3-2)! = 6/2 = 3. Encore une fois, cela correspond exactement à ce que nous avons vu auparavant.

Les formules nous permettent certainement de gagner du temps lorsqu'on nous demande de trouver le nombre de permutations d'un ensemble plus important. Par exemple, combien de permutations existe-t-il sur un ensemble de dix objets pris trois à la fois? Il faudrait un certain temps pour énumérer toutes les permutations, mais avec les formules, nous voyons qu'il y aurait:

P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutations.

L'idée principale

Quelle est la différence entre les permutations et les combinaisons? L'essentiel est que dans le comptage des situations qui impliquent un ordre, les permutations devraient être utilisées. Si l'ordre n'est pas important, les combinaisons doivent être utilisées.


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